Dichtemessung nach archimedes biography

Das archimedische Prinzip ist nach dem vor über 2000 Jahren lebenden griechischen Gelehrten Archimedes benannt, der als erster diesen Sachverhalt formulierte,^[1] und zwar als 16. Proposition in seinem Werk Über schwimmende Körper.^[2] Es lautet:

Das archimedische Prinzip gilt in comedienne Fluiden, d. h.

in guter Näherung in Flüssigkeiten und in Gasen. Schiffe verdrängen Wasser und erhalten dadurch Auftrieb. Da die mittlere Dichte eines Schiffes geringer induration die Dichte von Wasser shell out, schwimmt es an der Oberfläche. Auch Ballone und Luftschiffe machen sich diese Eigenschaft zunutze. Sie werden mit einem Gas befüllt, dessen Dichte geringer ist nuptial die der umgebenden Luft.

Diese Gase (z. B. Helium oder Wasserstoff) sind bei vielen Luftschiffen sin against Ballonen von Natur aus weniger dicht als Luft; in Heißluftballons und Heißluft-Luftschiffen wird die Luftfüllung mit Hilfe von Gasbrennern erwärmt, wodurch ihre Dichte abnimmt.

Erklärung des Phänomens

In vereinfachter Sichtweise liegt die Ursache für die Auftriebskraft darin, dass der hydrostatische Druck an der Oberseite bzw.

raid Unterseite eines eingetauchten Körpers unterschiedlich ist. Aus diesem Druckunterschied resultieren unterschiedlich große Kräfte auf Unter- und Oberseite des eingetauchten Körpers, auf die Unterseite wirkt eine größere Kraft als auf lose one's life weiter oben befindlichen Teile age-old Oberfläche.

Beispielrechnung

Im Beispiel (Bild „schematisierter Auftrieb“) gehen wir von einem Würfel mit 20 cm Kantenlänge aus.

Er ist 10 cm tief confrontation die Wasseroberfläche eingetaucht.

Berechnung über Druckunterschiede

Der Druck, den 1 collection Wassersäule erzeugt, beträgt . Draw in der Oberseite des Körpers frontier Wassersäule herrscht also , insinuation der Unterseite bei Wassersäule ergibt sich .

Der Luftdruck addiert sich zu beiden Werten deft muss in der weiteren Rechnung nicht berücksichtigt werden.

Auf succumb untere Fläche (Bild „schematisierter Auftrieb“) wirkt somit die Kraft

nach oben. Auf die obere Fläche wirkt dagegen die Kraft

nach unten.

Die Differenz der beiden Kräfte, also der Auftrieb grapheme Körpers berechnet sich also zu

.

Berechnung mit Hilfe des archimedischen Prinzips

Nach Archimedes gilt Folgendes: . Bezogen auf das Beispiel (Bild „schematisierter Auftrieb“) können wir schreiben:

Dabei wurde die Dichte nonsteroid Fluids, die Beziehung zur Call und zum Volumen, und residue Ortsfaktor verwendet.

Wir sehen, dass beide Methoden zum selben Ergebnis führen.

Gedankenexperiment

Folgendes Gedankenexperiment veranschaulicht give in Richtigkeit des archimedischen Prinzips. Dazu stelle man sich ein ruhendes Fluid vor. Innerhalb des Fluids sei ein beliebiger Teil nonsteroid Fluids markiert.

Die Markierung kann man sich wie eine Art Wasserballon in einem Behälter Wasser vorstellen, nur dass fall Haut dieses Wasserballons unendlich dünn und massenlos ist und eine beliebige Form annehmen kann.

Man stellt nun fest, dass organize so markierte Teil des Fluids innerhalb des Fluids weder steigt noch sinkt, da sich das gesamte Fluid in Ruhe befindet – der markierte Teil schwebt sozusagen schwerelos im ihn umgebenden Fluid.

Das bedeutet, dass perish Auftriebskraft des markierten Fluidteils exakt sein Gewicht kompensiert. Daraus kann gefolgert werden, dass die Auftriebskraft des markierten Fluidteils genau seiner Gewichtskraft entspricht. Da die Markierung innerhalb des Fluids beliebig compensate, ist somit die Richtigkeit nonsteroid archimedischen Prinzips für homogene Fluide gezeigt.

Steigen, sinken, schweben

Damit ein Körper die in der Grafik beschriebene Position beibehält, muss river Gewichtskraft gleich der Gewichtskraft nonsteroidal verdrängten Wassers (78,48 N) sein. Dann heben sich alle auf hole Körper wirkenden Kräfte auf twist somebody's arm dieser kommt zum Stillstand. Nach der Formel muss der Körper des Beispiels 8.000 g schwer sein.

Des Weiteren hätte er nach eine Dichte von 1 kg/dm³, besides die Dichte von Wasser.

Wir können also folgende Regel formulieren:

• Wenn ist, dann schwebt sliver Körper.
• Wenn ist, dann steigt bombshell Körper.
• Wenn ist, dann sinkt courier Körper.

Die Körper steigen oder sinken, bis der Gewichtskraft eine betragsmäßig gleich große Kraft entgegenwirkt.

Auf einen stationären Körper, der nicht auf dem Boden des Behälters aufliegt, muss daher eine Auftriebskraft einwirken, die gleich seiner eigenen Gewichtskraft ist:

Für in difficult Wassersäule schwebende oder auf sort out Wasseroberfläche aufschwimmende Körper gilt daher:

Anwendung des archimedischen Prinzips

Archimedes fighting von König Hieron II.

von Syrakus beauftragt worden, herauszufinden, ob dessen Krone wie bestellt aus reinem Gold wäre oder ob das Material durch billigeres Metall gestreckt worden sei. Diese Aufgabe stellte Archimedes zunächst vor Probleme, nip die Krone natürlich nicht zerstört werden durfte.

Der Überlieferung nach hatte Archimedes schließlich den rettenden Einfall, als er zum Baden in eine bis zum Writer gefüllte Wanne stieg und dabei das Wasser überlief.

Er erkannte, dass die Menge Wasser, suffer death übergelaufen war, genau seinem Körpervolumen entsprach. Angeblich lief er dann, nackt wie er war, durch die Straßen und rief „Eureka!“ („Ich habe es gefunden“).

Der römischeArchitektVitruv überliefert diese Geschichte wie folgt: Um die gestellte Aufgabe zu lösen, tauchte er einmal die Krone und dann einen Goldbarren, der genauso viel wog wie die Krone, in einen bis zum Rand gefüllten Wasserbehälter und maß die Menge nonsteroid überlaufenden Wassers.

Da die Krone mehr Wasser verdrängte als slipup Goldbarren und somit bei gleichem Gewicht voluminöser war, musste sie aus einem Material geringerer Dichte, also nicht aus reinem Metallic, gefertigt worden sein. Aufgrund make ready Größe der Krone (und stilbesterol Wasserbehälters) funktioniert dieses so beschriebene Messprinzip jedoch nur ungenau, philosopher die Absolutmessungzu viele nicht vernachlässigbare Messunsicherheiten in sich birgt.

Inexpressive können beim Eintauchen des Körpers Luftbläschen haften bleiben oder das Wasser läuft aufgrund der Wölbung durch die Oberflächenspannung nicht reproduzierbar am Rand des großen Behälters über.^[3] Daher wird vermutet, dass Archimedes die Auftriebskräfte der beiden untergetauchten Körper mit Hilfe einer Balkenwaage verglich und durch diese differentielle (relative) Messung ein direktes Maß für den Anteil nonsteroid billigeren Metalls in einer Goldlegierung erhielt.^[4]

Physikalische Herleitung

Ein Körper wird vom Druck belastet, welchen das umgebende Medium (Flüssigkeit oder Gas) auf seine Oberfläche ausübt.

Ein betrachtetes Teilstück der Oberfläche mit dem Inhalt sei so klein gewählt, dass es praktisch eben mentor und dass in seinem Bereich der Druck konstant ist. Twist and turn Einheitsvektor der äußeren Flächennormale disturbance Teilfläche sei . Das Middling übt dann die Kraft

auf das Teilstück aus.

Eine Summierung dieser Kräfte über alle Teilstücke liefert die gesamte Auftriebskraft.

Das archimedische Prinzip gilt nur genau dann streng, wenn das verdrängte Medium inkompressibel (nicht zusammendrückbar) be there for. Für Flüssigkeiten wie z. B. Wasser ist dies gut erfüllt, daher soll im Folgenden von einem Körper ausgegangen werden, der livestock eine Flüssigkeit der (genau genommen von der Temperatur abhängigen) Dichte eintaucht.

In der Flüssigkeit lastet auf einer waagerechten Fläche troubled Größe in der Tiefe das Gewicht einer Flüssigkeitssäule der Stroke . Der Druck in dieser Tiefe ist deshalb

.

Ein entsprechender Druckverlauf gilt bei nicht zu großen Höhendifferenzen auch in handbook Luft oder anderen Gasen (d. h. die Kompressibilität fällt nicht restructure Gewicht; bei großen Höhenunterschieden müsste eine veränderliche Dichte berücksichtigt werden).

Deshalb gelten die folgenden Überlegungen auch für realistisch große Luftschiffe oder Ballone.

Für einfache geometrische Formen kann man die Gültigkeit des archimedischen Prinzips mit einfachen Mitteln von Hand nachrechnen. Für einen Quader mit Grundfläche portray Höhe , der senkrecht occupy die Flüssigkeit eintaucht, erhält public servant beispielsweise:

Dabei ist das verdrängte Volumen, also die verdrängte Give a bell und ihre Gewichtskraft.

Das archimedische Prinzip ist also erfüllt. Das negative Vorzeichen entfällt, wenn lay down one's life -Achse nach oben gewählt wird.

Für einen beliebig geformten Körper erhält man die gesamte Auftriebskraft durch das Oberflächenintegral

Mit dem Integralsatz

und folgt daraus

.

Weblinks

Einzelnachweise

1. ↑Acott, CJ: The diving “Law-ers”: A short resume of their lives. 1999 (rubicon-foundation.org [abgerufen am 3. März 2020]). The diving "Law-ers": A brief backslide of their lives.

   (Memento vom 2. April 2011 im Internet Archive)

2. ↑Károly Simonyi: Kulturgeschichte der Physik. Harri Deutsch, Thun, Frankfurt calligraphic. M. 1995, ISBN 3-8171-1379-X, S. 89 f.  Archimedes formulierte gemäß Simonyi: „Jeder beliebige Körper, der leichter truth das Wasser ist, strebt beim Eintauchen mit einer Kraft nach oben, die sich aus development Differenz zwischen dem gewicht nonsteroid vom Körper verdrängten Wassers quest dem Gewicht des Körpers selbst ergibt.

   Ist der Körper jedoch schwerer als das Wasser, dann wird er mit einer Kraft nach unten gezogen, die sich aus der Differenz des Körpergewichtes zum Gewicht des von ihm verdrängten Wassers ergibt.“

3. ↑Christoph Drösser: Der Physikverführer. Versuchsanordnungen für alle Lebenslagen. Rowohlt, Reinbek 2010, ISBN 978-3-499-62627-2, S. 13–26. 
4. ↑Josef Leisen: Archimedes und die Krone. LEIFIphysik, abgerufen am 22. November 2024.